Καθαρίζουμε τα φασολάκια και τα ζεματίζουμε σε βραστό νερό για 5 λεπτά.
Τα στραγγίζουμε και τα απλώνουμε στο ταψί.
Βάζουμε ανάμεσα τις πατάτες και το καρότο.
Αναμειγνύουμε σε ένα μπολ το ψιλοκομμένο κρεμμύδι, το σκόρδο, τις τριμμένες ντομάτες, τον πελτέ, το μαϊντανό και το δυόσμο.
Προσθέτουμε αλάτι, πιπέρι, ελαιόλαδο και ανακατεύουμε πολύ καλά και περιχύνουμε τα υλικά στο ταψί.
Σκεπάζουμε το ταψί με αντικολλητικό χαρτί και αλουμινόχαρτο και ψήνουμε το φαγητό σε καλά προθερμασμένο φούρνο στους 180°C, για μία ώρα.
Ξεσκεπάζουμε, ανακατεύουμε απαλά τα φασολάκια με τη σάλτσα τους και συνεχίζουμε το ψήσιμο με ανοιχτό ταψί για περίπου 20 λεπτά να στεγνώσει η σάλτσα ντομάτας, να μελώσουν τα φασολάκια και να μείνουν με το λάδι τους.