Καθαρίζουμε τα καρότα, τα τρίβουμε στον ψιλό τρίφτη και κρατάμε λίγο τριμμένο καρότο για το σερβίρισμα.
Αλατίζουμε το υπόλοιπο και το αφήνουμε να σταθεί για 10 λεπτά.
Στη συνέχεια, το πιέζουμε και το στύβουμε με τα χέρια να αποβάλει όλα τα υγρά του.
Μεταφέρουμε σε ένα μπολ το στεγνό καρότο και προσθέτουμε το γιαούρτι, το σκόρδο, το ελαιόλαδο, το ξίδι και τον ψιλοκομμένο δυόσμο και ανακατεύουμε καλά να ομογενοποιηθούν.
Αφήνουμε το τζατζίκι καρότου στο ψυγείο μέχρι το σερβίρισμα, για να κρυώσει και να αναμειχθούν τα αρώματα και οι γεύσεις.
Βάζουμε το τριμμένο καρότο που κρατήσαμε περιμετρικά σε ανοιχτό πιάτο και στη μέση απλώνουμε το τζατζίκι με κουτάλι.
Ραντίζουμε με λίγο ελαιόλαδο, γαρνίρουμε με τρυφερά φύλλα δυόσμου και σερβίρουμε με φρυγανισμένο ψωμί με λάδι, ανθό αλατιού και ρίγανη.